Metodo di Väisälä per la determinazione di un'orbita preliminare

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Il metodo di Väisälä può essere estremamente utile in molti casi. Viene parecchio usato quando si abbia un arco di osservazioni molto ridotto, non sufficiente per determinare un'orbita "reale", ma si voglia soltanto un'orbita sufficientemente valida per predire la posizione di un oggetto per la settimana successiva, o giù di lì. Il metodo fornisce anche un buon punto di partenza per i metodi iterativi per raffinare un'orbita. 

Non ho trovato molta documentazione sull'argomento, ed ho anche escogitato un paio di modifiche per migliorare il metodo. Tali modifiche vengono usate quando si attiva l'opzione "Väisälä" nel mio programma Find_Orb per la determinazione di un'orbita. Ritengo quindi necessari questi commenti.

"Normalmente", questo metodo ipotizza che si abbiano due osservazioni per un certo oggetto, negli istanti t1 e t2. Un'orbita del tipo "Väisälä" è quella che soddisfa esattamente entrambe le osservazioni, ed ha l'oggetto in un'abside nell'istante t1 (in genere, o il perielio o l'afelio). Matematicamente questo significa che dr/dt = 0 per t=t1, dove r=distanza tra il sole e l'oggetto.

La prima modifica che ho fatto è stata quella di "ridefinire" questo tipo di orbita, imponendo che negli istanti t1 e t2 l'oggetto si trovi ad una specifica distanza dal Sole. Come conseguenza, l'oggetto si troverà in un'abside nell'istante intermedio (t1 + t2) / 2. Se t1 e t2 sono molto ravvicinati, la distanza dell'oggetto nel punto absidale dell'orbita sarà molto vicina alla distanza scelta. 

Il motivo per cui ho fatto così, è che in tal modo si semplifica immensamente il codice sorgente. Si conoscono l'AR e la declinazione dell'oggetto negli istanti t1 e t2, e si sa che l'oggetto si trovava ad una certa distanza dal sole in quegli istanti (la stessa distanza per entrambe le date). Con queste ipotesi, determinare la distanza dell'oggetto dall'osservatore e le coordinate Cartesiane (x, y, z) dell'oggetto negli istanti t1 e t2 è un calcolo piuttosto semplice. Da questi dati, ricavare poi l'orbita è immediato. Molti sistemi per la determinazione delle orbite hanno, da qualche parte nel loro codice, una funzione che affronta il problema del tipo: "l'oggetto si trova nel punto (x1, y1, z1) nell'istante t1 e nel punto (x2, y2, z2) nell'istante t2; trovare l'orbita corrispondente". E' questa l'unica funzione che occorre. (Nel mio caso, tale funzione era servita per il metodo di Herget, e quindi era già pronta).

La seconda modifica riguarda il fatto che i metodi che utilizzano un'orbita del tipo "Väisälä" in genere considerano soltanto due osservazioni. Quasi sempre si avranno almeno quattro osservazioni da utilizzare dopo due notti, e sembrerebbe logico usare tutti i dati.

La mia prima idea è stata quella di procedere nel modo seguente: Calcolare la "solita" orbita del tipo "Väisälä" usando la prima e l'ultima osservazione. Usare tale orbita quindi come punto di partenza per effettuare una ottimizzazione con il metodo dei minimi quadrati in cui l'orbita sia vincolata, nel punto dell'abside, a una data distanza e a un dato istante (q e Tperielio). Poiché il problema della soluzione di un'orbita generica ha sei parametri variabili, i due vincoli imposti lasciano ancora quattro parametri da trovare. (Se si usano gli elementi orbitali "classici", questi quattro parametri da trovare saranno l'eccentricità, l'argomento del perielio ω, l'inclinazione i, e la longitudine del nodo ascendente Ω).

Quanto esposto sopra funzionerebbe piuttosto bene. Tuttavia ho trovato un metodo che è più facile da realizzare e meno suscettibile di instabilità e singolarità matematiche. Tale metodo funziona così: Supponiamo di aver calcolato la "solita" orbita di "Väisälä" con due punti. I residui negli istanti t1 e t2 sono nulli; si avranno però residui diversi da zero nel periodo intermedio.

Consideriamo i residui, diciamo, in AR. Se si inseriscono in un'espressione lineare, si avrà una funzione del tipo

delta_RA = A + B * t

Si può scrivere un'altra espressione lineare ed avere una funzione simile per la declinazione. Inoltre, tali equazioni possono essere risolte analiticamente, e non richiedono molta potenza di calcolo.

Il nocciolo della mia seconda modifica era questo. Assumiamo di aver calcolato i coefficienti A e B, come pure C e D nell'equazione

delta_dec = C + D * t

Ora modifichiamo la prima e l'ultima osservazione, (ra1, dec1) e (ra2, dec2), nel modo seguente:

ra1nuova = ra1 - (A + B * t1)
dec1nuova = dec1 - (C + D * t1)
ra2nuova = ra2 - (A + B * t2)
dec2nuova = dec2 - (C + D * t2)

Ricalcoliamo quindi l'orbita di "Väisälä", eccetto però che questa volta, invece di calcolare un'orbita che colleghi il punto (ra1, dec1) al punto (ra2, dec2), ne calcoliamo una che colleghi i "nuovi" valori.

Il risultato ottenuto in questo modo è una correzione del primo ordine: si è calcolato il valor medio dei residui e la loro pendenza, e si sono ritoccate la prima e l'ultima osservazione per ottenere un'orbita in cui la pendenza dei residui è stata annullata e la media dei residui è ridotta a zero. Il risultato è molto simile a quello che si sarebbe ottenuto ricavando i quattro parametri, cercando il migliore adattamento ai dati osservativi, ma questo metodo richiede soltanto un minimo di matematica e di tempo di calcolo.