Come includere gli effetti relativistici nel calcolo delle orbite

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  • Perché includere la relatività nel calcolo delle orbite?
  • Un modo piuttosto facile ed economico per farlo
  • Un modo migliore per farlo
  • Qualche precauzione
  • Ulteriori informazioni su questo argomento
  • Perché includere la relatività nel calcolo delle orbite?: Buona parte dei programmi orbitali (calcolo delle effemeridi, programmi per la determinazione delle orbite, ecc.) hanno a che fare soltanto con la meccanica newtoniana: c’è il sole, qualche oggetto perturbatore, e questo è tutto, ogni cosa regolata dalla semplice legge newtoniana dell’inverso del quadrato delle distanze. Questo vale per il mio programma Find_Orb per la determinazione delle orbite, e per tutti gli altri programmi che ho distribuito attualmente. Anche i dati ASTORB del Lowell Observatory non tengono conto della relatività; la documentazione afferma che gli effetti relativistici influiscono leggermente sull’orbita di Icaro (1566), e probabilmente su quella di altri oggetti che si avvicinano molto al sole. Non so se il Minor Planet Center tiene conto di questi effetti (Il "JPL" ne tiene conto).

    In generale, gli effetti della relatività (nell’ambito del sistema solare) sono talmente piccoli da non doversene preoccupare. Le perturbazioni dovute agli asteroidi più grandi sono quasi sempre molto più significative.

    Il più famoso esempio di una situazione in cui "la relatività è importante" nel calcolo di un’orbita è il caso della precessione del perielio dell’orbita di Mercurio. Dalle osservazioni è risultato che la longitudine del perielio (cioè la somma della longitudine del nodo ascendente più l’argomento del perielio) aumenta di 574 secondi d’arco al secolo. Le perturbazioni planetarie giustificherebbero soltanto circa 531 secondi d’arco al secolo, e, finché non arrivò Einstein, i rimanenti 43 secondi d’arco al secolo restavano qualcosa di imbarazzante nel mondo astronomico.

    Un modo piuttosto facile ed economico per farlo: Mi sono imbattuto in questo trucchetto nel libro di J.M.A. Danby, Fundamentals of Orbit Determination, pubblicato dalla Willmann-Bell. Viene menzionato come parte di un "problema per lo studente", e non ho completamente seguito il modo con cui è stato derivato. Tuttavia l’uso di questo metodo è molto immediato, e (come dirò) l’ho provato e ho visto che funziona.

    L’idea base è che l’accelerazione gravitazionale standard di Newton

    accel = -GM / r2

    viene leggermente modificata, come riportato qui di seguito:

    accel = -GM / r2 - alpha * h2 / r4
    
    dove:
    
    alpha = 3GM / c2
    h = |(v x r)|2 = quadrato del momento angolare/unità di massa

    Basterebbe fermarsi qui, e, in effetti, il programma che ho scritto io si ferma qui. Però può essere didatticamente utile osservare che, se poniamo vt uguale alla componente trasversale della velocità, possiamo esprimere questa "accelerazione modificata" come

    accel = -(GM / r2) (1 + 3(vt / c)2)

    in altre parole, l’accelerazione newtoniana viene aumentata di un fattore causato dalla velocità dell’oggetto.

    Ho fatto una prova scrivendo un piccolo programma per l’integrazione dell’orbita di un oggetto che simula Mercurio, stampando la velocità di scorrimento del perielio (cioè la variazione della longitudine del perielio in un certo tempo, divisa per il tempo trascorso). Il programma usa il metodo di Encke, il che significa che viene risolto analiticamente il problema newtoniano dei due corpi e viene integrato soltanto lo scostamento dall’orbita ideale, provocato dalle perturbazioni. Ho incluso il termine relativistico come se fosse "soltanto un’altra perturbazione".

    Quando ho fatto girare il programma con la sola gravità newtoniana, senza oggetti perturbatori, gli elementi rimanevano esattamente costanti (come ci si sarebbe aspettato). L’aggiunta del termine relativistico ha causato alcune fluttuazioni nella velocità di precessione della longitudine del perielio, ma poi si è stabilizzata su un valore di 43"/secolo. (Il termine aggiuntivo produce sia effetti secolari, che effetti periodici, e questo è il motivo per cui ho dovuto effettuare l’integrazione su alcune centinaia di orbite per poter notare effetti a lungo termine).

    Includendo come oggetti perturbatori i pianeti da Venere a Nettuno, ma senza il termine relativistico, ho ottenuto per la precessione il valore di 531 secondi d’arco al secolo, che è il valore che tutti avevano trovato nell’Ottocento. Infine, includendo sia le perturbazioni che il termine relativistico, ho ottenuto dal programma il valore del "mondo reale", pari a 574 secondi d’arco al secolo.

    Un modo migliore per farlo: Avevo pensato che l'algoritmo riportato nel paragrafo precedente tenesse conto correttamente degli effetti relativistici al primo ordine. Mi ero sbagliato. Nel Febbraio 2003 ho ricevuto un messaggio di posta elettronica da parte di Werner Huget. Anche lui aveva scritto un programma simile e lo aveva usato per effettuare l'integrazione del moto di Mercurio. In tal modo, trovò un piccolo errore nell'anomalia media, pari a 8" dopo un periodo di integrazione di sette anni!

    Qualche tempo fa, per provare il mio programma Integrat, avevo visitato il sito Web delle effemeridi "JPL Horizon" e avevo scaricato gli elementi orbitali osculanti dell'asteroide (1566) Icaro, per le epoche GG 2452400.5 = 6 Maggio 2002 e GG 2380000.5 = 14 Febbraio 1804 (Horizon non arriva più indietro di così, nel tempo). L'idea era che, se Integrat fosse stato in grado di integrare gli elementi corrispondenti all'epoca più recente, fino ad arrivare agli elementi più antichi, avrei avuto la sicurezza che il programma funzionava correttamente. Avevo scelto l'asteroide (1566) Icaro, poiché la sua orbita allungata, con un perielio soltanto di 0.187 UA, è pesantemente influenzata dalla relatività.

    Con questa prova, fui in grado di replicare gli elementi orbitali del JPL del 1804 quasi esattamente, a meno di un errore di 15" nell'anomalia media. Grazie a Werner Huget, ora ho capito perché avevo trovato quell'errore, e l'ho corretto (la versione attuale del programma Integrat riesce a replicare gli elementi orbitali del 1804 entro circa un decimo di secondo d'arco).

    L'accelerazione differenziale, ora corretta (cioè la quantità che deve essere aggiunta all'accelerazione newtoniana "normale"), è

             -GM
    accel =  ---- {(4GM / r - v2) r + 4(v.r)v}
             r3c2
    

    dove r = vettore che va dal sole al pianeta e v = velocità vettoriale del pianeta rispetto al sole. v.r è il prodotto scalare della velocità con il raggio. Va notato che l'accelerazione non è più soltanto radiale. Con qualche passaggio, si può dimostrare che, per orbite con piccola eccentricità, la formula precedente si riduce alla versione più semplice mostrata nel paragrafo precedente. Tuttavia, anche per orbite leggermente eccentriche (come Werner Huget aveva scoperto per Mercurio ed io avevo scoperto per Icaro), la "versione semplificata" non è sufficientemente valida.

    Una espressione simile si trova nell'"Explanatory Supplement to the Astronomical Almanac", pag. 281, tranne che per il fatto che sul libro sono inclusi anche alcuni termini di ordine superiore.

    Qualche precauzione: Come ho detto sopra, non riesco a seguire in realtà tutti i ragionamenti su cui è basata la derivazione della prima espressione, e non ho la più pallida idea di come si possa derivare la seconda espressione. Per un uso "pratico" nei calcoli relativi al sistema solare, sono convinto che aggiungere questa seconda espressione sia sufficiente a tenere conto degli effetti relativistici. Tuttavia, si potrà notare che le onde gravitazionali vengono ignorate. Per il sistema solare questo effetto è assolutamente trascurabile. Mi ricordo di aver sentito una volta che il sistema Terra-Sole irradia in tutto circa 60 watt di onde gravitazionali.

    In un caso famoso, vi è una coppia di pulsar che orbitano una intorno all'altra così strettamente, ed emettono perciò così tanta energia sotto forma di onde gravitazionali, che la loro orbita si va gradualmente restringendo di una quantità che è ben misurabile. (Il fatto che la diminuzione del periodo orbitale corrisponde alla perdita di energia dovuta alle onde gravitazionali è forse la miglior prova, al momento attuale, che le onde gravitazionali effettivamente esistono).

    Se desiderate analizzare tale comportamento, il metodo riportato sopra non è sufficiente. Come si può vedere, infatti, in questo metodo l'energia si conserva, per cui non possono essere considerate le onde gravitazionali.

    Ulteriori informazioni su questo argomento: Come ho già detto sopra, non riesco a capire esattamente come funzioni questo metodo. Tuttavia, il 28 Aprile 2002 ho ricevuto il seguente commento da parte di Ken Shoemaker:

    Sulla tua pagina Web, menzioni di aver trovato nel libro di Danby un metodo per
    includere alcuni effetti relativistici. Quello che mancava era una spiegazione.
    Personalmente, ricordo una bella discussione su tali approssimazioni, riportata
    nel libro "Gravitation", di Misner, Thorne, and Wheeler... [Nel libro] vi è una
    trattazione di geometria differenziale, tuttavia molti argomenti sono presentati
    in almeno tre differenti modalità: (1) graficamente, (2) con le coordinate, e
    (3) più astrattamente (senza coordinate). Suggerirei anche di dare un'occhiata
    alle pagine Web di John Baez: http://math.ucr.edu/home/baez/gr/gr.html.